یکم
در یکی از سکانس‌های فیلم یک ذهن زیبا (به کارگردانی ران هاوارد)، جان نَش (با بازی راسل کرو) به‌همراه ۳ نفر دیگر از پسرهای هم‌دانشکده‌ای‌‌اش در یک بار نشسته‌اند که ناگهان ۵ دختر از در وارد می‌شوند. یکی از دخترها بلوند و به‌طور معنی‌داری نسبت به بقیه خوشگل‌تر است. طبیعتاً توجه هر یک از پسرها به او جلب میشود و همین مسأله جمله‌ای معروف از آدام اسمیت را به یاد پسرها می‌اندازد: «در شرایط رقابتی، پی‌جویی منافع فردی خیر جمعی را در پی دارد.» اما نش جوان بعد از کمی فکر، چنان‌که گویی کشف عظیمی کرده باشد فاتحانه اعلام می‌کند که آدام اسمیت اشتباه کرده و تئوری وی احتیاج به بازبینی دارد. سپس وی به دوستانش می‌گوید که اگر همه‌مان به‌دنبال دختر بلوند برویم، مانع کار هم می‌شویم و آن‌وقت هیچ‌کداممان نمی‌تواند او را به‌دست بیاورد. لذا پس از آن مجبور می‌شویم که به رفقای او پیشنهاد بدهیم. اما چون هیچ‌کس دوست ندارد دومین انتخاب دیگران باشد، لذا آنها هم به ما بی‌اعتتایی می‌کنند. اما اگر از ابتدا هیچ‌کداممان به‌سراغ دختر بلوند نرویم، نه مزاحم کار هم می‌شویم و نه سایر دخترها را ناراحت کرده‌ایم. لذا این تنها راهی است که هر ۴ نفر ما برنده می‌شویم و اگر چه هیچ‌کدام به دختر بلوند نمی‌رسیم، اما حداقل به هر کداممان یکی از سایر دخترها خواهد رسید.
دوم
بنا بر تعریف، مجموعه استراتژی‌های اتخاذ شده توسط بازیکنان یک بازی در صورتی تشکیل تعادل نش می‌دهند که “هیچ بازیکنی انگیزه انتخاب استراتژی دیگری را نداشته باشد، اگر سایر بازیکنان به استراتژی خود پایبند باشند”. به عبارت دیگر در تعادل نش استراتژی هر بازیکن، بهترین پاسخ او در مقابل استراتژی اتخاذ شده توسط رقبایش است. لذا اگر فردی به‌صورت یک‌طرفه بخواهد از استراتژی خودش عدول کند، منفعت بیشتری عاید او نخواهد شد. همان‌طور که نش در پایان‌نامه دکترای خودش می‌نویسد:
“An equilibrium point is … such that each player’s mixed strategy maximizes his payoff if the strategies of the others are held fixed.”
البته در تعادل نش لزوماً بازیکنان از استراتژی سایر رقبا خرسند نیستند، بلکه استراتژی آنها صرفاً بهترین پاسخی است که می‌توانند در مقابل حرکت سایرین انجام دهند، و لا غیر! تمام قشنگی تعادل نش هم به همین پایداری (Stability) آن برمی‌گردد.
سوم
با توجه به تعریف ذکر شده، بدیهی است که استراتژی “No one for blonde” مطرح شده توسط نش/کرو در این فیلم یک تعادل نش نیست! چرا که با فرض پایبند بودن سایر رقبا به استراتژی‌هایشان هر فرد می‌تواند با تغییر استراتژی خود و رفتن به‌سراغ دختر بلوند نفع بیشتری ببرد. در واقع از میان تمام استراتژی‌های موجود، نش/کرو در این فیلم دقیقاً دست می‌گذارد بر روی همانی که تعادل نش نیست! (البته در هیچ‌کجای فیلم به‌صراحت ادعا نمی‌شود که این تعادل نش است. ولی می‌بینیم که جرقه تز دکترای نش از همینجا زده میشود. فکر کنم دیگر همه می‌دانند که پایان‌نامه او در چه زمینه‌ای بود!)
البته این بازی تعادل نش دارد. با کمی فکر می‌فهمیم که استراتژی “One for blonde” تعادل نش این بازی است. یعنی کافی است یکی از پسرها به‌سراغ دختر بلوند و الباقی به‌سراغ دوستانش بروند. در آن‌صورت هیچ‌کس (چه در ابتدا و چه در ادامه کار) انگیزه Deviation از استراتژی خودش را نخواهد داشت. تازه این راه‌حل نه تنها تعادل نش است، بلکه بهینه پارتو هم هست. یعنی “هیچ مجموعه استراتژی دیگری وجود ندارد که در آن بتوان بدون این‌که وضع سایرین بدتر شود وضع فرد یا افرادی را بهبود بخشید”.
خوب، نتیجه؟ این که نشد راه‌حل! بالاخره هر کدام از پسرها که به سراغ دختر بلوند برود، یک تعادل نش است دیگر! حالا دعوا بر سر این است که آن پسر کدام باشد؟
چهارم
توماس شِلینگ در کتاب خیلی قشنگش به‌نام استراتژی تضاد به مفهومی اشاره می‌کند تحت عنوان نقطه کانونی (Focal Point) که به‌درد همین جور جاها می‌خورد (به‌افتخار او به آن نقطه شلینگ هم می‌گویند). در مواقعی که تعادل‌های نش چندگانه داریم (و بازیکنان امکان ارتباط با هم را ندارند)، نقطه کانونی در واقع تعادل نشی است که خود به خود (Spontaneously) اتفاق می‌افتد. یعنی اتفاق می‌افتد چون طبیعی است که اتفاق بیافتد. یا به‌قول شلینگ اتفاق می‌افتد چون همه انتظار دارند که اتفاق بیافتد. اصلاً یک جورهایی انگار واضح است که اتفاق می‌افتد! از آن نظر به آن می‌گویند نقطه کانونی، چون در آن همه بازیکنان علی‌رغم اختلافاتشان مشترک می‌شوند.
مثال‌های زیر از صفحه ۶۳ کتاب قضیه را روشن‌تر می‌کند:
-
فرض کنید به دو نفر که با هم هیچ ارتباطی هم ندارند، به‌صورت جداگانه پانلی شامل ۴ مربع را نشان بدهیم و بگوییم که اگر هر دو تایتان مربع یکسانی را انتخاب کردید ۱۰ دلار می‌گیرید. در غیر این‌صورت هم که هیچ! یکی از مربع‌ها قرمز و سه تای دیگر آبی هستند. شما باشید کدام را انتخاب می‌کنید؟
-
فرض کنید ابتدا سه حرف B ،A و C را بین سه نفر تخصیص دهیم و در مرحله بعد بگوییم که هر کدام از شما می‌تواند این سه حرف را به هر ترتیبی که دلش خواست بنویسد. اگر ترتیب نوشتن هر سه نفر یکسان بود، نفری که حرف اول دست اوست ۶ دلار، نفری که حرف دوم را در دست دارد ۳ دلار و نفری که حرف سوم را دارد ۲ دلار برنده میشود. در غیر این‌صورت هم که هیچ! فرض کنید به شما حرف B (یا A یا C) افتاده است. حروف را به چه ترتیبی می‌نویسید؟
-
قرار است به شما و دوستتان ۱۰۰ دلار داده شود اگر بتوانید آن‌را به‌درستی بین خودتان تقسیم کنید. یعنی به هر کدامتان به‌صورت جداگانه یک ورق کاغذ داده میشود تا مقدار ادعایی خودتان را بنویسید. اگر مجموع ادعاهای شما از ۱۰۰ دلار بیشتر نشد، مبلغ مورد درخواست هر کدامتان پرداخت خواهد شد. در غیر این صورت هم که هیچ! شما باشید چه مبلغی را ادعا می‌کنید؟
هر کدام از این بازی‌ها چندین تعادل نش دارند، که هر کدام از آنها هم می‌تواند بهینه باشد. همه این بازی‌ها هم غیرهمکارانه (Non-Cooperative) هستند. اما اغلب نتیجه‌ای که در عمل اتفاق می‌افتد فقط یکی از این تعادل‌هاست!
آن‌طور که شلینگ می‌گوید در نقطه کانونی در واقع هر یک از طرفین بازی از انتظارات متقابل (Mutual Expectations) خودشان نفع می‌برند. یعنی هر کس بازنده میشود مگر این‌که دقیقاً همان کاری را که بقیه از او انتظار دارند انجام دهد. به‌عبارت دیگر هیچ کس نمی‌تواند انتظارات خودش مبنی بر این‌که سایرین از او انتظار دارند که انتظار انتظاریده شدن را داشته باشد انکار کند!
پنجم
تعادل نقطه کانونی نش-شلینگ در دنیای واقع اتفاق می‌افتد چرا که آدم‌ها توسط محیط اجتماعی‌شان یاد گرفته‌اند که مطابق آن رفتار کنند. اصلاً یک جورهایی زوری است انگار، دست خود آدم نیست. یعنی چاره دیگری هم نیست. تعادلی است که هم شما می‌انتظاریدش و هم هر کس دیگری در این بازی.
راه‌حل مسأله نش/کرو هم خود به خود اتفاق می‌افتد. این‌که چه کسی سراغ دختر بلوند برود در واقع درون خود جمع معلوم میشود. مثلاً کسی که خوش‌تیپ‌تر است، خوش‌قیافه‌تر است، خوش سر و زبان‌تر است… چه می‌دانم، دخترکُش‌تر است! یعنی جرج کلونی، تام کروز یا برد پیت جمع است. همیشه او می‌رود سراغ دختر بلوند دیگر، مگر نه؟ این نقطه تعادل کانونی است، چون هم او و هم بقیه همین انتظار را دارند.
نقطه کانونی مسأله نش/کرو هم واضح است. اصلاً از همان ابتدای ورود دخترها به بار واضح است. کافی است در فیلم توجه کنیم که دختر بلوند در بدو ورود از چه کسی نمی‌تواند چشم بـردارد. نـقطه تعـادل “Nash/Crow for blonde” است!
پی‌نوشت
الف) خوشگل‌تر ترجمه B-a-b-e (یا …) و به‌سراغ/به‌دنبال رفتن ترجمه Pickup است. نگارنده این پست هر چه فکر کرد معادل فارسی وبلاگ‌پسندی برایشان پیدا نکرد. خودتان می‌دانید دیگر!
ب) نگارنده معتقد است که در صورت بروز چنین اشتباه فاحشی، یا باید نوبل اقتصاد را از جان نش گرفت یا جوایز اسکار را از فیلم یک ذهن زیبا! (البته ظاهراً فیلم را از روی کتابی به همین نام ساخته‌اند.)
ج) نگارنده هنوز هم این جمله را خیلی دوست دارد:
In competition, individual ambition serves the common good.
د) نگارنده با خودش فکر می‌کند که چقدر خوب می‌شد یک نفر نظریه بازی را این‌طوری یاد او می‌داد!
کافه اقتصاد 